Рассмотрим распространение электромагнитной волны в проводящей среде. Для этого воспользуемся уравнениями Максвелла (45.9) и возьмем ротор от второго из них. Принимая и используя первое и четвертое уравнения, а также векторное тождество и закон Ома получим уравнение для магнитного поля:

Отсюда следует дисперсионное уравнение

Рассмотрим эволюцию начального состояния поля (с заданным Решая (87.2) относительно и, получим

При магнитное поле затухает с характерным временем . В среде с хорошей проводимостью имеется два характерных времени затухания

Обратим внимание, что для быстрого затухания а для медленного о.

Аналогичным образом можно получить уравнение для электрического поля в среде, которое имеет вид

где - плотность свободных зарядов. Если их нет, то электрическое-поле затухает так же, как и магнитное. При наличии зарядов электрическое поле можно представить как , где Тогда уравнение (87.5) распадается на два, причем выражение для совпадает с (87.1), поскольку Еывр Формула для от принимает вид

поскольку Уравнение (87.6) эквивалентно рассмотренному ранее уравнению релаксации зарядов в среде (23.1), в чем легко убедиться, взяв дивергенцию от его левой части. Поэтому, как и заряды, потенциальная составляющая поля всегда затухает с характерным временем (87.4).

Рассмотрим теперь другую задачу: на границу проводящей среды падает электромагнитная волна заданной частоты и. Каково затухание волны в пространстве? Оно определяется мнимой частью. к из (87.2):

где - характерная глубина проникновения переменного электромагнитного поля в проводящую среду, называемая толщиной скин-слоя (от англ. skin - кожа).

В среде с плохой проводимостью

где имеет обычный вид. В обратном предельном случае

а фазовая скорость

Для промышленной частоты 50 Гц ( км) толщина скин-слоя в меди см, а в железе мм, см/с. В радиодиапазоне мм; (для меди).

Найдем теперь соотношение между электрическим и магнитным полями затухающей волны Проще всего его получить из первого уравнения (45.9): или, так как

Поскольку для хороших проводников (медь) а то в радиодиапазоне так что речь идет о затухании магнитного поля. Такое большое значение связано с отражением волны от поверхности хорошего проводника (см. § 72), при котором электрические поля падающей и отраженной волны почти компенсируют друг друга. Соотношение (87.10) определяет, таким образом, так называемые граничные условия Леонтовича при отражении волны от проводника с конечной проводимостью для компонент поля, касательных к поверхности.

Задача 1. Вычислить сопротивление проводника с учетом скин-эффекта Из закона Ома находим полный ток в скин-слое:

Действительная часть этого выражения определяет омическое сопротивление проводника (на единицу длины и единицу поперечного размера): мнимая - его внутреннюю индуктивность:

Вычислим теперь потери энергии в проводнике. Для этого найдем модуль вектора Пойнтинга на поверхности проводника. Получим прежде всего выражение для векторного произведения комплексных векторов: где - угол между ними, направленный от вектора а к Представляя получим Таким образом,

Это выражение имеет очень простой физический смысл: поток энергии равен плотности энергии в проводнике вблизи его границы, умноженной на скорость движения волны внутри проводника

Этот же результат можно получить и непосредственным интегрированием джоулевых потерь внутри проводника:

Наиболее распространенное применение скин-эффекта - экранирование от переменного магнитного поля. Последнее может быть вредно как само по себе, так и благодаря связанному с ним вихревому электрическому полю, создающему различные электрические наводки. Экранирование осуществляется путем окружения защищаемой аппаратуры достаточно толстым проводящим экраном. Практическая трудность связана с тем, что обычно экран не может быть полностью замкнутым. Необходимы, например, различные отверстия для подвода питания аппаратуры, наблюдения за ней и т. д. Интересно отметить, что такие экраны ослабляют поле сильнее, чем по простому экспоненциальному закону (см. задачи 2, 3).

Задача 2. Найти коэффициент экранирования цилиндрического экрана радиуса толщина стенок которого много меньше скин-слоя. Магнитное поле параллельно оси цилиндра.

Ввиду условия поля внутри стенок, а значит, и плотность тока можно считать однородными. Тогда ток в экране (на единицу его длины) можно определить просто по закону Фарадея:

где - поле внутри экрана. Закон сохранения циркуляции магнитного поля дает где - внешнее поле. Для коэффициента экранирования получаем

Здесь, кроме малого множителя который возникает при разложении экспоненты появляется большой множитель . Такой же множитель появляется и при сильном скин-эффекте . Физическая причина дополнительного ослабления поля в экранируемом пространстве связана с тем, что «хвост» потока в сплошном металле распределяется на большую площадь . В результате для коэффициента экранирования получается следующая простая оценка:

Другим важным применением скин-эффекта является формирование магнитного поля нужной конфигурации, которая повторяет форму проводящей поверхности с точностью до толщины скин-слоя.

Скин-эффект приводит к своеобразному взаимодействию переменного тока с проводящей стенкой (рис. XII.5). Так как силовые линии не проникают в глубь проводника, то при достаточно малой толщине скин-слоя нормальная составляющая магнитного поля на поверхности близка к нулю. Поэтому конфигурация магнитного

Рис. XII.5. Поля импульсного пучка электронов вблизи проводящей поверхности.

поля тока вблизи проводящей плоской стенки эквивалентна полю двух токов разного направления. Один из них называется обычно изображением тока по аналогии с электростатическим изображением заряда. Таким образом, ток «отталкивается» от проводящей поверхности.

Если ток создается пучком заряженных частиц, то кроме взаимодействия тока со стенкой, есть еще взаимодействие заряда, которое приводит к притяжению пучка стенкой. Последнее всегда сильнее, так что в результате получается притяжение к стенке, равное на единицу длины пучка (сравни (30.4))

Если скомпенсировать электрический заряд пучка, то результирующая сила изменит направление; такой пучок будет отталкиваться от стенки (рис. XII.6). На этом явлении основан интересный метод фокусировки пучка в металлической трубе, остроумно названный ФУКОсировкой. Так как пучок отталкивается трубой «со всех сторон», он устойчиво движется вдоль оси трубы. Такая фокусировка позволяет транспортировать достаточно интенсивный пучок по изогнутой трубе и, в частности, удерживать его в кольцевой трубе.

Рис. XII.6. Отражение пучка электронов от металлической пластинки.

Название этой самофокусировки связано с тем, что токи, наводимые переменным полем в проводнике, известны как токи Фуко, по имени французского ученого, впервые описавшего это явление.

Задача 3. Оценить магнитное поле вблизи центра тонкого проводящего диска радиуса и толщины помещенного в однородное переменное магнитное поле, если

Токи Фуко плотностью возбуждаемые в диске, создают на его оси поле (см. (28.4))

В свою очередь, ток в кольце донцентрнческом с диском,

Сопротивление кольца, -полное поле в плоскости кольца. Подчеркнем, что здесь учтена индуктивность кольца, так как ЭДС индукции вычисляется через сумму внешнего поля и поля токов Фуко (ср. (48.4) и задачу 2).

Аналитически система уравнений не решается. Для оценки можно принять где - поле в центре диска. Тогда

(сравни задачу 2 и комментарий к ней).

Рассмотрим теперь нестационарный скин-эффект, когда зависимость магнитного поля от времени на границе проводника не является гармонической. Если по-прежнему пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, то из (87.1) приходим к уравнению диффузионного типа:

Такой же вид имеет и уравнение теплопроводности (см. (87.37) ниже). Коэффициент диффузии магнитного поля

Простейший случай настационарного скин-эффекта соответствует экспоненциальному росту внешнего поля . Такая зависимость получается из гармонической формальной заменой: Тогда для одномерной задачи решение диффузионного уравнения (87.14) сразу получается из (87.9) такой же

Эффективная толщина скин-слоя

не зависит от времени, как и в стационарном случае. Решение (87.16) можно интерпретировать как диффузионное распространение фронта магнитного поля вглубь проводника

со скоростью

Последнее неравенство есть условие применимости диффузионного приближения (87.14), т. е. пренебрежение токами смещения. Например, для меди с диффузионная скорость

Рассмотрим теперь более сложную задачу о нестационарном скин-эффекте при быстром («мгновенном») включении гармонического поля:

Частоту поля а также толщину стационарного скин-слоя полагаем равными единице. Фурье-спектр поля (87.20)

содержит низкие частоты которые и будут определять значительно более сильное проникновение поля в проводник по сравнению со стационарным скин-эффектом на частоте . Пренебрегая последним (ср. спектры (87.21) и (78.8)) и считая характерную область частот (см. ниже), можем написать решение в виде фурье-интеграла:

Мы использовали здесь выражение для стационарного скин-эффекта на частоте фурье-гармоники со в виде

Легко проверить, что это выражение справедливо как для так и для

Вычисление интеграла (87.22) производится с помощью замены переменой: и приведения показателя экспоненты к полному квадрату (ср. (85.6)). В результате получаем

где новая переменная . Поскольку внешнее поле (87.20) можно представить в виде выражение

описывает нестационарный скин-эффект при включении внешнего поля и в точности совпадает с результатом работы , полученным другим методом.

При фиксированной глубине функция достигает максимального значения

в момент времени Таким образом, максимальное поле убывает с глубиной значительно медленнее, чем при стационарном скин-эффекте. Отметим, что в заданный момент времени поле внутри проводника имеет максимум при равный

В принятом приближении все полученные выражения справедливы только для (см. 87.23). Поэтому решение (87.24) не удовлетворяет граничному условию где нужно учитывать также отброшенный стационарный вклад в скин-эффект, который сответствует частотам в полном спектре (78.8) внешнего поля (87.20).

1. Поверхностный эффект ……………………………………………………..2

2. Электрический поверхностный эффект на примере шины прямоугольного сечения …………………………………………………….3

3. Расчёт комплексного сопротивления шины ……………………………...9

4. Магнитный поверхностный эффект ………………………………………11

5. Расчёт комплексной мощности в листе, обтекаемом синусоидальным магнитным потоком …………………………………...15

6. Анализ выражений для удельной комплексной мощности ……………17

7. Приближённые способы расчёта комплексной мощности в стальном листе, обтекаемом магнитным потоком.………………….....18

8. Электрический поверхностный эффект в проводнике круглого сечения …………………………………………………………….21

9. Эффект близости ……………………………………………………………..26

10. Комплексное сопротивление шины при наличии эффекта близости ………………………………………………………………………30

11. Параметры однофазного шинопровода …………………………………33

12. Электромагнитные поля и параметры шин трёхфазного шинопровода ………………………………………………………………..34

13. Расчёт поля в шинах С, В, А ……………………………………………...36

14. Расчёт комплексного сопротивления шины ……………………………38

15. Эквивалентные схемы замещения трёхфазного шинопровода при симметричной системе токов ………………………………………...40

16. Электромагнитное поле в оболочке кабеля …………………………….45

17. Комплексное сопротивление оболочки ………………………………….47

18. Список литературы ………………………………………………………...49

Поверхностный эффект

Экспериментально установлено и теоретически подтверждено, что переменный электрический ток (в том числе и синусоидаль­ный) в отличие от постоянного неравномерно распределяется по сечению токопровода. При этом всегда существует тенденция вы­теснения тока из внутренней части проводника в периферийную, т.е. плотность тока в проводнике возрастает по мере перемещения из глубины к поверхности провода. Это явление называют электрическим поверхностным эффектом. Его можно объяснить следующим образом.

Ранее указывалось, что вектор Пойнтинга имеет нормальную к боковой поверхности проводника составляющую, и это свидетельствует о проникновении в проводник энергии из окружающего про­странства через эту поверхность. Одновременно отмечалось, что электромагнитные волны распространяются в направлении вектора Пойнтинга и в проводящей среде затухают в том же направлении. Но если это так, то в проводнике, обтекаемом током, плотность тока, а также электрическая и магнитная напряженности у поверхности должны быть больше, чем в глубине. Электрическому поверхностному эффекту может быть дано и другое более наглядное объяснение. Если токопровод обтекается синусоидальным током, то его внутренние части сцеплены с большим магнитным потоком по сравнению с периферийными, и поэтому в них в соответствии с законом электромагнитной индукции будут наводиться большие электродвижущие силы, препятствующие изменению тока и находящиеся практически в противофазе с вектором плотности тока. По этой причине можно считать, что во внутренних частях токопровода суммарные электрические напряженности и плотности тока связанные между собой законом Ома () , будут иметь меньшие значения, чем в периферийных.

Если частота тока и параметры таковы, что глубина проникновения волны много меньше поперечного сечения проводника (Δ« d ), то ток в проводнике будет сосредоточен лишь в тонком поверхностном слое, толщина которого практически определяется глубиной проникновения волны. Такой поверхностный эффект называют ярко выраженным. Вытеснение тока приводит к увеличению активного сопротивления токопровода по сравнению с его значением при постоянном токе. Именно по этим причинам в высокочастотных установках индуктор выполняется в виде медной труб­ки, внутри которой для охлаждения пропускается жидкость.

Если глубина проникновения волны соизмерима с габаритными размерами, то проводник называют прозрачным и считают, что по сечению этого проводника ток распределяется практически равномерно.

Если в проводящем ферромагнетике замыкается переменный магнитный поток, то он также вытесняется на поверхность магнитопровода, в поверхностном слое возрастают магнитная индукция и напряженность, а это влечет за собой увеличение плотности вихревого тока и джоулевых потерь.

При магнитном поверхностном эффекте также вводится в рассмотрение глубина проникновения волны, и при условии, что Δ« d , эффект считается ярко выраженным. Явление магнитного поверхностного эффекта широко используется в электротермии, однако в электрических машинах, трансформаторах и других подобных установках проявление этого эффекта крайне нежелательно.

Электрический поверхностный эффект на примере шины прямоугольного сечения

На рис. 1 изображена шина прямоугольного сечения, обтекаемая током I. Поле в шине удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Внутри шины существуют электромагнитное поле и ток проводимости. За пределами шины (удельная проводимость (γ=0) ток проводимости (δ=0) отсутствует, но электрическое и магнитное поля существуют. Так как внутреннее и внешнее электромагнитные поля взаимосвязаны, то при решении задачи о расчете поля внутри шины необходимо знать законы распределения поля и за ее пределами.

Таким образом, при строгом подходе нужно решать задачу о расчете поля во всем пространстве - внутри и за пределами шины.

Так как эта задача очень сложна для точного аналитического реше­ния, сформулируем такие условия и допущения, при которых задачу о поверхностном эффекте в шине можно будет решить приближенно с хорошей точностью. Сначала рассмотрим поле в круглом проводе (рис. 2).

Магнитные линии представляют собой концентрические окружности. В данном примере поток, обусловленный током в проводе, разделяется на две составляющие - внутренний и внешний. Это свойство круглого провода используется в инженерной практике при определении внутренней индуктивности провода. Как видно из рис. 3, при квадратном сечении провода такое четкое разграничение потоков сделать нельзя, так как контур сечения уже не является силовой линией.

Определим, какое влияние оказывает геометрия шины (h /2 a ) на распределение поля в ее объеме. Из рис. 4 следует, что по мере увеличения относительных размеров (h /2а) силовые линии внутри шины начинают принимать очертания, приближающиеся к форме внешнего контура шины. Если же отношение h /2 a » 1 (рис. 5), то практически во всем объеме шины вектор магнитной напряженности становится направленным вдоль большей боковой поверхности шины, т. с. в сторону координаты у.

Если теперь пренебречь краевыми эффектами, то для шины при h » 2 a возможно решение задачи в системе координат (х, у, z ) в предпо­ложении, что

,
,

,
.

Рис.4 Рис. 5

Поставим задачу: рассчитать распределе­ние поля Е и Н в объеме прямоугольной шины (рис. ПО) и вычислить ее комплекс­ное сопротивление синусоидальному току, если шина h/2a » 1 обтекается током I с частотой ω .

Рис. 6 Рис. 7

Параметры среды: μ , γ . Приня­тое допущение Ė=Ė x (z ) приводит к урав­нению Гельмгольца (индекс х в дальнейшем опустим) относительно вектора электричес­кой напряженности

, (5.34)

где
.

Решением уравнения (5.34) является совокупность экспоненциальных функций

, (5.35)

. (5-36)

Запишем общее решение для , используя второе уравнение Максвелла
. Поскольку в рассматриваемом случае
, то

. (5.37)

С учётом (5.35)

. (5.38)

Далее отыщем постоянные интегрирования С 1 и С 2 . Поскольку исследуемое поле обладает симметрией
, следовательно, из (5.35) имеем

Очевидно, что последнее равенство справедливо, если С 1 =С 2 =С/2 .

Тогда с учётом условия симметрии выражения (5.35) и (5.38) будут иметь вид соответственно

, (5.39)

. (5.40)

Постоянная интегрирования С пропорциональна заданному в шине току I .

Выделим некоторый участок dS = hdz (рис. 7). Тогда

(5.41)

J n

.

Отсюда находим
. (5.42)

В итоге окончательное решение для Ė имеет вид:

. (5.43)

Подстановка (5.42) в (5.40) с уче­том (5.34) позволяет получить реше­ние для магнитной напряженности:

. (5.44)

Таким образом, (5.43) и (5.44) есть окончательные выражены для электрической и магнитной напряженностей и в объем шины.

Интерес представляет качественный анализ распределения плотности тока в объеме шины (рис.8). В соответствии с законом Ома
для плотности тока в шине имеем

.

Картина распределения δ(z ) , очевидно, будет зависеть от ко­эффициента распространения
.

Если на низких частотах па­раметр а/∆ мал (ра << 1) , то при малом аргументе shpz ≈1 , Shpa ≈ pa и тогда

Таким образом при этих условиях ток равномерно распределяется по шине и поверхностный эффект не проявляется. По мере роста частоты картина изменяет­ся, поскольку с ростом па­раметра (ра) увеличивает­ся неравномерность рас­пределения тока по сече­нию шины.

Переменный ток сопровождается электромагнитными явлениями, которые приводят к вытеснению электрических зарядов с центра проводника на его периферию. Этот эффект называется - поверхностным эффектом, или скин-эффектом . В результате этого эффекта ток становится неоднородным. На периферии ток оказывается большим по величине, чем в центре. Это происходит из-за различия в плотности свободных носителей зарядов в перпендикулярном сечении проводника относительно направления тока.

Глубина проникновения тока определяется согласно выражению:

Используя приведённую выше формулу для медного проводника получаем, что при частоте тока в 50 Гц глубина проникновения составит приблизительно 9,2 мм. Фактически это означает, что имея проводник с круглым сечением с радиусом более 9,2 мм, ток в центре проводника будет отсутствовать, потому как там не будет свободных носителей зарядов.

Чем выше частота тока, тем меньше глубина проникновения. Увеличение частоты тока в два раза повлечет за собой уменьшение глубины проникновения в корень квадратный из двух. Если частота тока увеличится в 10 раз, то, соответственно, глубина проникновения уменьшится в корень из 10 раз.

График распределения тока.

На графике наглядно показано распределение плотности тока J в проводнике круглого сечения (цилиндрический). За пределами глубины проникновения плотность тока равна нулю или же ничтожно мала, потому как в этих местах проводника отсутствуют свободные электроны. Ток в этих местах отсутствует.

Если из центра такого проводника где отсутствует ток, извлечь проводящий материал, то мы получим полый проводник в виде трубки (трубчатый). Проводящие характеристики от этого не изменятся, потому как тока там и не было, сопротивление такого проводника не изменится, но могут поменяться такие характеристики как индуктивность и емкость проводника.

Сопротивление проводника в цепи переменного тока зависит не только от материала проводника, но также от частоты тока. При высоких частотах, за счет скин-эффекта , весь ток начинает протекать практически по границе проводника, там где он контактирует со внешней, не проводящей средой.

Практическое использование скин-эффекта.

Распределение плотности тока в проводнике в зависимости от частоты тока позволяет по одному проводу передавать электрические сигналы разных частот. Сигналы более высокой частоты проходят по внешнему радиусу (большему) проводника, а сигналы меньшей частоты по меньшему радиусу. Получается нечто вроде слоенного пирога цилиндрической формы, где начинка распределяется сферически. Каждый вид начинки - это как бы отдельная частота тока.

Учитывая глубину проникновения тока для разных частот, если требуется проводник с радиусом большим, чем глубина проникновения, то разумно применять многожильный кабель. Скажем так, для 50 Гц частоты тока, предельный радиус примерно 9 мм, а это значит, что нет смысла эксплуатировать цельный проводник с радиусом больше 9 мм. Это не даст никакого увеличения проводимости, потому как ток в центре проводника будет отсутствовать, что является нерациональным использованием дорогостоящей меди. Вот поэтому при больших сечениях применяют многожильные провода и кабели.

При передачи высокочастотных сигналов, в целях экономии цветного металла, основной несущий провод изготавливают из дешевого стального сплава, который затем покрывают тонким слоем меди . Благодаря скин-эффекту ток протекает практически только по медной оболочке, а в стальном основании он отсутствует. Это позволяет значительно удешевить провода и кабели для высокочастотных средств связи.

Проникая в глубину проводника, амплитуда в электромагнитных волнах постепенно уменьшается. Это и есть скин-эффект, который носит другое название поверхностного эффекта. Например, если ток, имеющий высокую частоту, протекает по проводнику, то его распределение происходит не по всему сечению, а, в основном, в поверхностных слоях.

Принцип действия скин-эффекта

Это действие следует рассматривать на примере относительно длинного цилиндрического проводника, на который оказывает воздействие переменное напряжение, имеющее определенную частоту с изменением по времени.

Если взять постоянное напряжение, частота которого равна нулю, то в этом случае распределение электрического тока будет по всему сечению проводника. Это связано с тем, что напряженность постоянного тока будет одинаковой в каждой точке сечения проводника. Силовые линии магнитного поля, создаваемого током, образуются в виде концентрических окружностей, центр которых совпадает с осью проводника. Таким образом, постоянный ток распределяется по сечению вне зависимости от действия магнитного поля.

В случае с переменным током в проводнике, происходит его изменение во времени с одновременным изменением магнитного поля. При изменении потока магнитного поля наблюдается появление электродвижущей силы. Именно эта ЭДС вытесняет электрический к поверхности проводника с помощью магнитного поля. При очень высоких частотах весь ток будет протекать только по тонкому слою наружной части проводника.

Свойства скин-эффекта

Скин-эффект связан не только с высокочастотными токами, которые изменяются во времени. Это связано с любым временным изменением токов. Возникновение скин-эффекта может наблюдаться при непосредственном подключении проводника к постоянному напряжению. Именно в этот момент появляется ЭДС индукции большого значения, компенсирующая действие внешнего электрического поля на оси. Окончание этого процесса отмечается во время равномерного распределения тока в проводнике по всему сечению.

При очень быстром изменении тока, водится специальное время, в течение которого ток и магнитное поле проникают в глубину проводника. Эта величина носит наименование скин-нового времени. При этом, следует учитывать и тот фактор, что с уменьшением удельного сопротивления проводника, увеличивается время проникновения в него тока и магнитного поля.

В случае использования сверхпроводников, скин-время, теоретически, будет иметь бесконечно большое значение, магнитного поля не наблюдается, а протекание тока происходит исключительно по поверхности.

На высоких частотах ток, протекающий через проводник, распределяется по его сечению неравномерно. Под действием сильных магнитных полей переменного тока происходит «выталкивание» тока от центра проводника к его поверхности (скин-эффект ). В результате ток протекает по меньшей площади поперечного сечения, что выглядит как уменьшение диаметра провода. Чем выше частота, тем меньше толщина поверхностного слоя (скин-слоя ), по которому течет ток, и тем больше сопротивление проводника протекающему току. Глубина скин-слоя определяется как расстояние ниже поверхности, где плотность тока падает на 1/e от значения на поверхности (e - основание натурального логарифма).

Для минимизации потерь, возникающих из-за скин-эффекта , применяются проводники особой конструкции, которые состоят из большого числа тонких жил, изолированных одна от другой. Жилы переплетены между собой так, что каждая проходит по поверхности и в любом месте поперечного сечения на всём протяжении провода; это усредняет импеданс каждой жилы, в результате чего в них протекают равные токи. В таком проводнике, называемымлитцендратом (нем.Litzen - пряди иDraht - провод), ток течет по поверхности каждой жилы, в результате рабочая площадь поперечного сечения проводника значительно увеличивается, а сопротивление токам высокой частоты уменьшается.

Как правило, при проектировании устройств, требующих применения литцендрата, значения рабочей частоты и тока в проводнике известны заранее. Поскольку главное преимущество литцендрата заключается в уменьшении сопротивления переменному току по сравнению с одножильным проводом эквивалентного сечения, основным параметром, который учитывается при выборе конструкции и сечения провода, является рабочая частота. В таблице 1 показана зависимость соотношения между сопротивлениями переменному току и постоянному току (коэффициент H) от коэффициента X для одиночного изолированного проводника круглого сечения:

Таблица 1.

где: d – диаметр провода, мм, f – частота, МГц.

Из Таблицы 1 и другой эмпирической информации была получена Таблица 2, в которой приведены рекомендуемые диаметры единичной жилы изолированной жилы многожильного провода в зависимости от рабочей частоты.

Таблица 2.

			Активное
				Коэффициент
			сопротивление
		изоляции,	жилы, Ом/м
60 Гц…1 кГц
100…200 кГц
200…350 кГц
350…850 кГц
850…1,4 МГц
1,4…2,8 МГц

После выбора диаметра жилы соотношение между сопротивлениями переменному и постоянному току идеального литцендрата, т.е. такого, в котором каждая жила последовательно «пронизывает» каждую точку площади поперечного сечения, может быть определено по следующей формуле:

	H +K

где: H – коэффициент из Таблиц 1 и 2,

G - коэффициент поправки на вихревые токи, определяемый по формуле:

N – количество жил в кабеле, d1 – диаметр жилы, мм,

d0 – диаметр жгута, мм, f – частота, Гц,

K – постоянная, зависящая от количества жил в кабеле, определяется по следующей таблице:

Таблица 3.

Сопротивление многожильного кабеля постоянному току зависит от следующих факторов:

1. сечения жилы,

2. количества жил,

3. коэффициента удлинения одиночной жилы по сравнению с единицей длины жгута, возникающего как результат плетения жил. Типичными считаются значения 1,5% для каждого порядка операции плетения жил в жгут и 2,5% для

каждого порядка операции скручивания жгутов в кабель.

Следующая формула позволяет определить сопротивление постоянному току литцендрата любой конструкции:

		R (1.015) N B	(1.025) N C

где: RS – сопротивление единичной жилы, Ом (см. таблицу 2), NB – количество порядков операции плетения в жгут,

NC – количество порядков операции скручивания жгутов в кабель, NS – общее количество жил в кабеле.

Рис.1. Литцендрат 1-го типа

Рис.2. Литцендрат 2-го типа

Пример 1 . Рассчитаем сопротивления провода типа 2 (см. Рис.2), состоящего из 450 жил диаметром 0,079 мм на частоте 100 кГц. Данный провод производится путём свивания пяти жгутов (скручивание жгутов в кабельпервого порядка), каждый их которых, в свою очередь, получен свиванием трёх жгутов (плетениевторого порядка), сформированных из

30 жил диаметром 0,079 мм (плетение первого порядка).

1. Определим активное сопротивление провода по формуле (4):

R = 3780.5* (1.015 ) 2 (1.025 ) 1 = 8.87 Ом / км ,

2. Вычисляем отношение R AC при помощи формулы (2):

			1.0000+ 2*			*(7.877 *10− 5 ) = 1.035 ,

Преимущество литцендрата становится очевидным при сравнении с круглым проводом диаметром 1,67 мм, имеющим эквивалентную площадь сечения. Активное сопротивление одножильного провода составит порядка 7,853 Ом/км, однако на частоте 100 кГц соотношение между сопротивлениями переменному и постоянному току возрастает примерно до 21,4; таким образом, сопротивление переменному току составит

Пример 2 . Рассчитаем сопротивления провода типа 2 (см. Рис.2), состоящего из 1260 жил диаметром 0,100 мм на частоте 66 кГц. Этот провод образован из семи жгутов (скручивание жгутов в кабельпервого порядка), каждый их которых, в свою очередь, получен свиванием шести жгутов (плетениевторого порядка), сформированных из 30 жил диаметром 0,100 мм (плетениепервого порядка).

1. Определим активное сопротивление провода по формуле (4):

				2176.5*(1.015) 2 (1.025) 1						1.824Ом /км ,
2. Вычисляем отношение										при помощи формулы (2):
			1.0000+ 2*						*(8.81*10− 5 ) = 1.124 ,

Одножильный провод диаметром 3,55 мм имеет такую же площадь поперечного сечения, но очевидно, что при глубине скин-слоя, равного 0,257 мм, такой провод можно рассматривать как тонкостенный цилиндр с толщиной стенки, равной глубине скин-слоя.

По материалам фирмы New England Wire